חישוב מיקום בעזרת 3 לווינים:

חישוב המיקום מתחלק ל-2.
אם בבעלותכם בנוסף למקלט הGPS גם שעון מדוייק, או שעון שאינו מדוייק.

במקרה שיש לנו שעון מדוייק, יספקו לנו את העבודה רק 3 לויינים:
לצורך הדוגמה - לויינים A B C.

המטרה: רוצים למצוא מרחק מאצלנו על כדור הארץ ל-3 לויינים.
נתאר מצב בו קלטנו שדר מלויין A:
-בו בזמן שקלטנו את השדר של הלויין A והשדר התקבל במקלט, אנו גם יודעים מתי בדיוק הוא נשלח אלינו,
וגם אנו יודעים מתי בדיוק הוא התקבל במכשיר,
מה שאומר שיש לנו את הדלתא זמן שעבר מרגע שהשדר נשלח ועד שהגיע אלינו.
ואיך זה עוזר?
אנו יודעים שהשדר עובר במהירות האור.. ואת מהירות האור אנו יודעים.. 300,000 ק"מ בשנייה
מה שאומר שיש לנו את המרחק מלויין A.
(לכן אנחנו יכולים להיות בכל נקודה שהיא על כדור הארץ שהיא באותו המרחק שאנו נמצאים בו מהלויין A).
לכן כל אחד שיגיע לתוצאה שאנחנו קיבלנו זה אומר שהוא בדיוק באותו מרחק כמונו מהלויין A הזה.
והוא יימצא על אותו מעגל על כדור הארץ שמרחקו מהלויין אותו מרחק בדיוק.
ונקודות כאלו על המעגל שתואר יש אינספור. במילים אחרות כדור של נקודות.

באופן דומה ניתן להגיד על לויין B, שקיבלנו את מרחקו המדוייק מכדור הארץ,
ושגם הוא בעצם יצור מעגל על כדור הארץ ובכולו (כמעט) יהיה בדיוק באותו מרחק מכדור הארץ.

וכשנגיד עכשיו ששני המעגלים צריכים להיות במקביל,
חיתוך של 2 קשתות מעגל יכול להיות 2 נקודות.
כי לכל 2 מעגלים יש בדיוק 2 נקודות שבהם הם נחתכים.
ולכן הפעם יהיו רק 2 נקודות כאלו על פני כדור הארץ שנמצאות בדיוק אותו מרחק מלויין A ואותו מרחק מלויין B.
מה שאומר מעגל של נקודות אפשריות.

כשנקלוט את השדר באותה הדרך מהלויין השלישי
הוא יוצר חיתוך של 3 המעגלים האלו ביחד,
וזה ייתן לנו 2 נקודות אפשריות על פני כדור הארץ.
אז איך נוכל לדעת בוודאות איפה אנחנו?

התשובה היא שבאמת מתקבלות 2 נקודות.
אבל רק אחת מהן הגיונית (על פני כדור הארץ)
הנקודה השניה תהיה רחוקה מאוד מלהיות הגיונית. לדוגמה רחוק בחלל או לחילופין עמוק בתוך כדור הארץ.
וכך קיבלנו מיקום עצמי על פי 3 לויינים ושעון מדוייק.

מהירות האור היא 300,000 ק"מ בשניה, ואפילו טעות קטנה מאוד של מיליונית שניה היא כבר נהפכת לבעיה גדולה.
כי טעות של מליונית שניה היא טעות ב300 מטר כשמחשבים את מרחק הלויינים.
וטעות כזו יכולה ליצור לנו שגיאה בגודל קילומטר כשנקבע מיקום עצמי.
שעונים רגילים שאנו מכירים לא עובדים על שעון אטומי כמו שהלוויינים עובדים,
והם צוברים שגיאה בין שניה לשניה פי כמה וכמה מאשר מליונית שניה,
מה שהופך שיטה זו ללא יעילה..


חישוב מיקום בעזרת 4 לווינים:

נראה שוב איך ניתן למצוא מיקום עצמי על פי 4 לויינים הפעם ולא 3 כמו שתארנו קודם:

ההליך הוא הליך דומה מאוד עם 3 הלויינים הראשונים..
הלויין הראשון מייצר כדור נקודות אפשריות
הלויין השני מייצר מעגל אפשרויות
והלויין השלישי מייצר לנו 2 נקודות כשרק אחת מהן הגיונית.

אפשר להגיד שיש לנו בעיה 3 מימדית.
וכדי לפתור בעיה תלת-מימדית נצטרך 3 משוואת, שקיבלנו אותם בהצלחה בעזרת שעון מדוייק.

אבל, כשאנחנו מדברים על שעון לא מדוייק שצובר שגיאות בין כל שניה לשניה
הבעיה נהפכת למורכבת יותר, ויש לנו גם כנעלם את ה"זמן".
מה שאומר שהבעיה נהפכה ל4 מימדית, והפעם נצטרך עוד משוואה על מנת לפתור את הבעיה של המיקום.
ולכן הלויין הרביעי יתן לנו את הפיתרון והוא זה שכל הזמן נחשב דרכו את השגיאה שנוצרה,
ויתן לנו את הקירוב לזמן האמיתי.
וכך נוכל עדיין להשתמש בשלושת הלויינים הקודמים ולקבל זמן מקורב הרבה יותר לשעון האטומי
מה שאומר למיקום הנוכחי האמיתי.

אפשר לומר שבדרך יהיו עוד הרבה הפרעות של המידע של השדרים והרבה מהם יכולים להגיע באיחורים,
להגיע לאט פתאום, להגיע עקום, להגיע בקצב שונה או לא להגיע בכלל פתאום.
ולכן שואפים לקבל כמה שיותר שדרים כאלו מהלויינים וכל הזמן לעשות את הקירובים האלו דרכם לשעון האמיתי.
בפועל ניתן לקבל שדרים מ-9 אותות לויין בכל יחידת זמן. וכך להיות רגועים מהמקלט GPS שבבעלותינו.